Comportamientos dinámicos, diseño de circuitos y sincronización de un nuevo sistema caótico simétrico con atractores coexistentes

Scientific Reports volumen 13, Número de artículo: 1893 (2023) Citar este artículo

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En este artículo, presentamos un novedoso sistema caótico tridimensional con características extrañas mediante la aplicación de la construcción de un método de circuito caótico 3D. En este sistema existen múltiples equilibrios y abundantes atractores coexistentes. Se desarrolla un modelo matemático y se ejecutan análisis de estabilidad detallados para los puntos de equilibrio con la obtención de resultados significativos de los patrones de bifurcación de duplicación del período confirmados por diagramas de plano de fase y espectros de exponente de Lyapunov. Al variar el valor inicial y el parámetro único controlado, el atractor caótico de doble desplazamiento se divide en un par de atractores singulares simétricos. Luego, se investigan las cuencas de atracción locales en relación con la condición inicial. A continuación, los resultados de la síntesis del circuito generados por la herramienta de simulación Multisim validan las características de autoexcitación de este sistema. Finalmente, la técnica de control de retroalimentación se usa para estudiar la sincronización de diferencias de este sistema. Las principales conclusiones prueban la validez y fiabilidad de la sincronización de diferencias.

En 1963, el "caos" se descubrió por primera vez en experimentos numéricos sobre la dinámica del tiempo1. Es un movimiento aparentemente aleatorio, lo que significa que los comportamientos aleatorios ocurren sin la adición de ningún factor aleatorio, en sistemas deterministas no lineales. Como rama de la ciencia no lineal, la teoría del caos se aplica ampliamente en el diagnóstico médico2, la economía3, el cifrado de imágenes4,5,6, las redes neuronales7, la detección de señales débiles8,9, la comunicación segura10, etc. Características caóticas, que dependen en gran medida de las condiciones iniciales y los parámetros del sistema , iluminan muchos fenómenos no lineales complicados e interesantes. Dado que la existencia de atractores de coexistencia proporciona una variedad de estados estacionarios opcionales para los sistemas, se ha convertido gradualmente en un punto crítico de investigación en los últimos años. Los atractores de coexistencia indican que se generan dos o más atractores en diferentes parámetros y condiciones iniciales11. Un ejemplo clásico es que el atractor de mariposas del sistema de Lorenz se divide en un par de atractores singulares simétricos en una región del espacio de parámetros previamente inexplorada12. Kenne et al. propusieron un sistema Jerk tridimensional con términos cúbicos no lineales y encontraron que la coexistencia de atractores está estrechamente relacionada con las variaciones de los parámetros13. Bao et al. construyó un circuito caótico de memristor y observó la coexistencia de una infinidad de atractores14. Las singularidades e inestabilidades del caos pueden describirse mediante atractores ocultos y atractores autoexcitados. Uno autoexcitado significa que la cuenca de atracción está excitada por equilibrios inestables15. El otro se define como un atractor con múltiples puntos de equilibrio y estados de equilibrio estables, o sin ningún equilibrio16,17. Hasta ahora, se han explorado teórica y numéricamente circuitos electrónicos no lineales con comportamientos dinámicos complejos, como oscilaciones caóticas autoexcitadas, oscilaciones ocultas y los comportamientos de atractores múltiples coexistentes18.

Con el auge de las técnicas de Internet, la seguridad de la transmisión de información se requiere de gran importancia para el público. Hoy en día, la sincronización del caos se ha aplicado con éxito en la comunicación segura19,20. Sobre la base de proponer un método de autosincronización caótica y realizar la sincronización de dos sistemas caóticos21, se han desarrollado varios esquemas de sincronización del caos, como sincronización completa22, antisincronización23, sincronización generalizada24, sincronización de fase y antifase25,26, sincronización proyectiva27 , sincronización combinada28,29, sincronización combinación-combinación30 y sincronización compuesta31. En primer lugar, la referencia 32 introdujo un método de sincronización de diferencias, que realiza la sincronización entre dos sistemas de conducción y un sistema de respuesta utilizando el método de combinación ponderada lineal. La selección flexible del factor de escala hace que la topología geométrica del sistema acoplado sea más compleja y la predicción del camino hacia el caos más difícil para un mejor rendimiento de comunicación segura. Para realizar los esquemas de sincronización caótica anteriores, se han desarrollado una gran cantidad de técnicas de control, como el control de retroalimentación lineal y no lineal33, el control de modo deslizante34, el control activo35, el control adaptativo36 y la red neuronal37. Du et al. derivó un criterio para la sincronización en tiempo finito de redes neuronales basadas en memristores de orden fraccional con retardo de tiempo38. Wang et al. propuso un método de control de sinapsis memristiva para diseñar atractores caóticos de múltiples estructuras e investigó el problema de sincronización de las redes neuronales memristivas a través de un controlador basado en un observador39,40.

En esta investigación pretendemos proponer un sistema caótico no lineal tridimensional con múltiples estados estables cuyos puntos de estabilidad y equilibrio pueden controlarse fácilmente. A diferencia de los términos no lineales cuadráticos en la mayoría de los sistemas existentes, nuestro sistema hace que las características dinámicas sean más complejas al agregar un término no lineal cúbico. Además, al introducir parámetros variables estables, resolvemos la matriz jacobina y trazamos los retratos de las características del estado estable para obtener los detalles del foco inestable, los nodos estables y los puntos estables. Además, empleamos un diagrama de bifurcación que coincide con un espectro de los mayores exponentes de Lyapunov para explorar comportamientos caóticos y atractores coexistentes. Específicamente, la contribución de este artículo es principalmente cuádruple: (1) El sistema diseñado es adaptable a un oscilador autoexcitado en un sistema integrado; (2) el circuito del sistema caótico está diseñado y simulado por el software Multisim, que puede verificar efectivamente los resultados de la simulación numérica; (3) el control de retroalimentación lineal es adecuado para sistemas caóticos con no linealidad cúbica, utilizado en sincronización de diferencias; (4) basado en esquemas de sincronización, nuestros resultados son prácticos en comunicación segura.

En 2013, Jafari y Sprott41 propusieron una serie de sistemas caóticos tridimensionales con no linealidades cuadráticas, donde los modelos matemáticos del sistema Sprott A y el sistema NE8 se pueden expresar siguiendo las ecuaciones diferenciales autónomas. (1) y (2)

Sistema Sprott A:

Sistema NE8:

donde \({x}_{1}\), \({y}_{1}\), \({z}_{1}\) y \({x}_{2}\), \ ({y}_{2}\), \({z}_{2}\) son variables de estado, \(a\mathrm{ y }b\) son parámetros constantes.

Sorprendentemente, existe estabilidad múltiple en los sistemas anteriores sin equilibrio, lo que indica la existencia de atractores coexistentes42. Intuitivamente, la figura 1 muestra los atractores caóticos de los sistemas con parámetros a = 1 yb = 1,47. Luego, se construye un nuevo sistema caótico 3D a partir del sistema Sprott A agregando un término no lineal cúbico. En consecuencia, el modelo matemático correspondiente de este sistema se formula como

donde \(x\), \(y\), \(z\) son variables de estado y \(v\) es un parámetro constante.

Atractores caóticos de los sistemas (1) y (2) con (a) parámetro a = 1 y condición inicial (− 0.1, − 1, 0.3). (b) Parámetro b = 1,47 y condición inicial (0, 0,1, 0).

Cuando el parámetro \(v\) denota una variable ajustable, es fácil deducir los puntos de equilibrio del sistema (3) resolviendo \(\dot{x}=0\), \(\dot{y}=0\), \(\punto{z}=0\):

Los puntos de equilibrio se pueden expresar como \(S=(\widehat{x},\widehat{y},\widehat{z})\), donde

De la ecuación. (4), es trivial señalar que \(\widehat{y}\) y \(\widehat{z}\) están sujetos a la variable de estado \(\widehat{x}\) y al parámetro \(v\ ). Así, \(S\) cambia con el parámetro \(v\). Al linealizar (3) alrededor del punto de equilibrio, la matriz jacobina se puede expresar como:

La ecuación característica se puede derivar como

donde \(\lambda\) son los valores propios de la ecuación. (6) y

El parámetro constante \(v\) cambia en el rango de [\(-\) c, c] con la evolución del tiempo, así podemos obtener los valores de \(\widehat{x}\), más \(\widehat {y}\) y \(\widehat{z}\). Para explorar los puntos exactos y la estabilidad del punto de equilibrio, establecemos el límite del parámetro A como [− 2, 2], luego los resultados se muestran intuitivamente en la Fig. 2.

Puntos de equilibrio simulados numéricamente y análisis de estabilidad con \(\nu \in [-\,\mathrm{2,2}]\).

Para evitar resolver la solución numérica de los valores propios de la matriz de Jacobi, la estabilidad del punto de equilibrio se describe mediante la trayectoria del diagrama de fase, debido a la existencia de términos no lineales cuadráticos y cúbicos. De acuerdo con el criterio de Routh-Hurwitz, la estabilidad de los puntos de equilibrio se puede estimar resolviendo la ecuación. (6). En este sistema caótico, los puntos de equilibrio se clasifican en dos tipos: foco de silla inestable y nodo estable. Los valores propios reales negativos o los valores propios complejos con partes reales negativas son nodos estables. Por el contrario, aquellos valores propios reales positivos o valores propios complejos con partes reales positivas son nodos inestables. Esos valores propios son nodos de silla si las raíces son valores propios reales con signos diferentes.

En la Fig. 2, se puede observar que el lugar geométrico de los puntos de equilibrio cambia con el parámetro \(v\) en el rango de \([-\,2, 2]\) a medida que pasa el tiempo. La línea roja indica el foco de silla inestable y la línea azul indica los nodos estables. Los tres diagramas etiquetados (a), (b) y (c) en la Fig. 2 representan valores de tres dimensiones de los puntos de equilibrio.

Al cambiar las condiciones iniciales y los parámetros de ajuste, las trayectorias de fase y los comportamientos dinámicos se investigan cualitativamente. Diagramas de bifurcación versus \(v\in [0.14, 0.32]\) de las condiciones iniciales \({x}_{01}=\left(0.1, 2, 0.1\right), {x}_{02}=(- \,0.1,-\,2, 0.1)\) se representan en la Fig. 3a,b, demostrando la existencia de atractores caóticos de varias trayectorias, ciclos límite de diferentes períodos, bifurcación de duplicación de período y bifurcación de coexistencia en el sistema . A diferencia de los sistemas de la mayoría de los artículos, el sistema desarrollado en este artículo es una bifurcación de duplicación de períodos de estados periódicos y cuasi periódicos. De acuerdo con la Fig. 3b, al establecer los parámetros \({\nu }_{1}=0.147\) y \({\nu }_{2}=0.156,\) respectivamente, los atractores correspondientes se muestran en la Fig. 4, donde los exponentes de Lyapunov calculados por el algoritmo (A. Wolf, JB Swift) son \({\lambda }_{11}=0.0153,{\lambda }_{12}=- \,0.0159,{\lambda } _ {13}=-\, 2.1108\) y \({\lambda }_{21}=0.0040,{\lambda }_{22}=-\, 0.2545,{\lambda }_{23}=-\ , 1.7009\), lo que indica que el sistema se encuentra en estados cuasi-periódicos y periódicos, respectivamente. En varias condiciones, el sistema sufre una bifurcación de Hopf y entra en un estado de oscilación continua, y luego cae en el caos a través de una bifurcación de duplicación del período. Un comportamiento oscilante normal aparece o desaparece repentinamente, lo que lleva a la aparición de atractores coexistentes, lo que refleja la complejidad de las características no lineales del sistema.

Para los valores iniciales (0.1, 2, 0.1) y (− 0.1, − 2, 0.1), el diagrama de bifurcación y el espectro de Lyapunov del sistema (3) como \(v\) varía.

Para los valores iniciales (− 0.1, − 2, 0.1), los diagramas de fase del sistema (3) en el plano x–y: (a) estado cuasi-periódico con \({\nu }_{1}=0.147\) . (b) Estado del período con \({\nu }_{1}=0.156\).

El mayor exponente de Lyapunov es un índice cuantitativo importante para medir las características dinámicas. Representa la tasa exponencial promedio de la convergencia o divergencia de un sistema entre órbitas adyacentes en el espacio de fases. Un umbral crítico del estado del sistema se puede obtener indirectamente a partir de un estado conjunto de los mayores exponentes de Lyapunov del sistema. Cuando \(v\) se varía de 0,14 a 0,32, el espectro del exponente de Lyapunov de parámetro único se dibuja en la Fig. 3c. Podemos ver que el punto marcador indica el estado periódico del sistema que resulta del signo de tres exponentes de Lyapunov es \((0,-,-)\). Vale la pena señalar que el diagrama de bifurcación coincide con el espectro de los exponentes de Lyapunov más grandes. En particular, el algoritmo empleado en este trabajo para determinar los mayores exponentes de Lyapunov fue propuesto por (A. Wolf, JB Swift).

Los atractores coexistentes proporcionan múltiples estados estables opcionales para que el sistema responda a diferentes requisitos. Para el parámetro \(v=0.21\) y la condición inicial (0.1, 2, 0.1), el atractor caótico de doble desplazamiento se representa en la Fig. 5. Los exponentes de Lyapunov del sistema son \({\lambda }_{1} =0.0864,{\lambda }_{2}=-0.0037,{\lambda }_{3}=-\,1.3122\). Se puede deducir que la sumatoria de LEs es negativa:

que muestra la disipación del sistema. La dimensión del exponente de Lyapunov correspondiente es

donde la variable \(j\) satisface \({\sum }_{i=1}^{j}{\lambda }_{i}>0\) y \({\sum }_{i=1}^ {j+1}{\lambda}_{i}<0\). El atractor extraño simétrico se puede observar porque la dimensión del exponente de Lyapunov es fraccionaria y disipación del sistema.

Atractores caóticos del sistema (3) con parámetro \(\nu =0.21\) y condición inicial (0.1, 2, 0.1).

Cambie el parámetro \(v=0.26\), luego se obtienen dos atractores independientes en el sistema (3) con valores iniciales (± 0.1, ± 2, 0.1), como se muestra en la Fig. 6. La línea roja indica el atractor con condición inicial \({x}_{01}=\left(0.1, 2, 0.1\right)\) y la línea azul indica el atractor con condición inicial \({x}_{02}=(-\,0.1 , -\,2, 0.1)\). Se puede verificar que los atractores son caóticos ya que tienen el mismo exponente de Lyapunov máximo positivo \({\lambda }_{1}=0.0758\) y dimensión fractal de Lyapunov \({D}_{\lambda }=2.078\) . En consecuencia, el atractor caótico de doble desplazamiento de la Fig. 5 se divide en dos atractores singulares. Es fácil verificar que los dos atractores extraños tienen simetría rotacional sobre el eje z.

Un par de atractores singulares de simetría del sistema (3) con parámetro \(\nu =0.26\) y condición inicial (\(\pm\) 0.1, \(\pm\) 2, 0.1).

La bifurcación de duplicación de período y la bifurcación de coexistencia se pueden ilustrar visualmente generando los retratos de fase del sistema (3) con condiciones iniciales (± 0.1, ± 2, 0.1). Como se muestra en la Fig. 7, el sistema (3) realiza periodo-1, periodo-2 y caos respectivamente para \(v=0.1, 0.15, 0.3\), lo que implica que el proceso de caos producido por la bifurcación de duplicación de periodo está acompañado por bifurcación de coexistencia.

Los retratos de fase de atractores simétricos coexistentes en el plano x–y con condiciones iniciales (± 0.1, ± 2, 0.1): (a) \(\nu =0.1\). (b) \(\nu =0.15\). (c) \(\nu =0.3\).

Para los atractores simétricos coexistentes ilustrados en la Fig. 7c, las cuencas atractoras correspondientes se muestran en tres planos diferentes en la Fig. 8, donde la región púrpura corresponde a un par de atractores extraños simétricos, y la región negra representa la condición inicial para generar órbitas ilimitadas. . La cuenca ha esperado una simetría de rotación del eje z y una estructura fractal compleja.

Las cuencas locales de atracción en tres planos diferentes. (a) El plano \(x\left(0\right)-y\left(0\right)\) con \(z\left(0\right)=0.1\). (b) El plano \(x\left(0\right)-z\left(0\right)\) con \(y\left(0\right)=2\). (c) El plano \(y\left(0\right)-z\left(0\right)\) con \(x\left(0\right)=0.1\).

La condición inicial puede considerarse como una medida invariante para la clasificación del comportamiento dinámico. Para los sistemas caóticos, ligeras diferencias entre las condiciones iniciales pueden causar grandes diferencias en las soluciones a lo largo del tiempo. Si se encuentran los comportamientos acotados, los comportamientos dinámicos de picos caóticos, reposo estable y picos periódicos se clasifican luego midiendo los tamaños de los atractores. De acuerdo con las cuencas de atracción locales, se puede distinguir de manera evidente la estabilidad de los comportamientos dinámicos dependientes de la condición inicial. Las condiciones iniciales se consideran \((x\left(0\right), y\left(0\right), 0.1)\), \((x\left(0\right), 2, z(0) )\) y \((0.1, y\left(0\right), z(0))\) mientras que el parámetro se mantiene como \(\nu =0.3\). La figura 8 muestra la cuenca de atracción en \(x\left(0\right)-\mathrm{y}(0)\), \(x\left(0\right)-z(0)\) y \( y\left(0\right)-z(0)\), respectivamente. La Figura 8a demuestra que dos líneas rojas son paralelas al eje x y al eje y. Y la intersección de dos rectas que indica el estado inicial \((0.1, 2, 0.1)\) se ubica en las regiones negras mientras que el parámetro del sistema \(v=0.3\). La condición inicial \((0.1, 2, 0.1)\) demuestra que el comportamiento dependiente inicial del sistema se realizó como un caos inestable. Por tanto, se puede deducir de este fenómeno que los comportamientos dinámicos a largo plazo están asociados a las condiciones iniciales. Y conduce a la aparición de biestabilidad, además de un caos inestable y puntos estables. De acuerdo con la Fig. 8b, la cuenca de atracción local cambia en una órbita circular, que no es continua sino discreta, lo que indica que el oscilador caótico pasa de un estado de oscilación a otro. Esto es similar a la transición del nivel de energía en la física. Tal cuenca de atracción es rara en los sistemas caóticos propuestos. La cuenca de atracción en la Fig. 8c cambia en una órbita de franja discreta, mostrando características de oscilación más abundantes, por lo que puede mejorar la seguridad de la comunicación sincrónica. En particular, los atractores del sistema propuesto se autoexcitan en lugar de ocultarse porque sus cuencas de atracción incluyen múltiples campos de equilibrio inestables.

Además de la coexistencia de atractores simétricos, cuando \(v=0.3, 0.32\) con los valores iniciales (0.1, 2, 0.1) y (0.1, 0, 0.1), dos tipos de diagramas de fase de atractores de coexistencia asimétrica y los correspondientes las series de tiempo de la variable \(x\) se muestran en la Fig. 9. La coexistencia de atractores caóticos y ciclos límite y la coexistencia cuasi-periódica también se pueden observar en la Fig. 9a,b respectivamente. Las series temporales de la variable \(x\) correspondientes a la Fig. 9a se ilustran en la Fig. 9c,d. De manera similar, la relación de la Fig. 9b,e,f es la misma que la anterior. De la Fig. 9d,f, se produce un efecto transitorio cuando se inicia la oscilación y se logra la estabilidad después de algún tiempo.

De los valores iniciales (0.1, 2, 0.1) y (0.1, 0, 0.1) surgieron dos tipos de atractores asimétricos coexistentes y series temporales de la variable \(x\).

Para investigar la dinámica y confirmar la viabilidad de un modelo caótico teórico, se suele utilizar la implementación en circuitos de sus correspondientes modelos matemáticos43,44. Es práctico utilizar circuitos electrónicos que emulan sistemas caóticos debido a su amplia aplicación en ingeniería. Por tanto, en esta sección se diseña y verifica el circuito electrónico del nuevo sistema caótico (3).

Numerosos estudios45 han señalado que los operadores de orden fraccionario no se pueden realizar directamente bajo la definición estándar de integrales diferidas de orden fraccionario en simulaciones en el dominio del tiempo. Si el circuito se diseña directamente de acuerdo con las ecuaciones del sistema, el circuito no funcionará normalmente. Al aplicar el enfoque del amplificador operacional46, el estado de las variables del sistema (3) debe reducirse para realizar atractores extraños. De acuerdo con el sistema Eq. (3), las variables de escala \(X\), \(Y\), \(Z\) se establecen como \(X=x/2\), \(Y=y/2\), \(Z= z/4\), respectivamente. Donde \(x\), \(y\) y \(z\) son las variables de estado en el sistema Eq. (3). El sistema se puede implementar utilizando componentes electrónicos comunes que son resistencias, capacitores, multiplicadores analógicos y amplificadores operacionales.

Al aplicar las leyes de Kirchhoff al circuito electrónico, el conjunto de ecuaciones de estado del circuito correspondiente del novedoso sistema caótico propuesto se puede expresar como

donde \({v}_{c1}\), \({v}_{c2}\) y \({v}_{c3}\) son los voltajes a través de los capacitores \({C}_{ 1}\), \({C}_{2}\), \({C}_{3}\), respectivamente. Y \({V}_{\alpha }\) es una fuente de voltaje de CC estable para implementar la constante en un sistema numérico (3). Notablemente, el único parámetro \(v\) en (3) se puede configurar ajustando manualmente la resistencia \({R}_{8}\). Se puede inferir que tres variables de escala \(X\), \(Y\) y \(Z\) representan el voltaje a través de los capacitores correspondientes, respectivamente. El circuito completo se implementa en la plataforma de simulación electrónica Multisim, donde la Fig. 10 describe el circuito diseñado implementado por simulación Multisim. Para realizar un sistema caótico no lineal, el circuito completo contiene tres capacitores, once resistencias, seis multiplicadores y cuatro amplificadores operacionales. Se puede notar que tres multiplicadores están configurados como 1/10, los otros dos están configurados como -1/10 y el último es 1/1. Los valores de todos los componentes electrónicos en la Fig. 10 se determinan de la siguiente manera: \({R}_{1}={R}_{3}={R}_{7}=\) 40 \(\mathrm{k \Omega }\), \({R}_{2}=\) 2 \(\mathrm{k\Omega }\), \({R}_{4}=\) 80 \(\mathrm{k \Omega }\), \({R}_{5}={R}_{6}=\) 8 \(\mathrm{k\Omega }\),\({R}_{8}=\ ) 13,33 \(\mathrm{k\Omega }\), \({R}_{9}=\) 50 \(\mathrm{k\Omega }\), \({C}_{1}={ C}_{2}={C}_{3}=\) 2.2 \(\mathrm{nF}\), y \({V}_{\alpha }=\) 1 V, donde \({R }_{8}\) es una resistencia variable, y su valor de resistencia debe ajustarse para lograr diferentes estados. Otros parámetros de resistencia y capacitancia en el circuito caótico no son únicos. El circuito representado en la Fig. 10 es solo una implementación del oscilador, que depende de diferentes escenarios de aplicación. Por ejemplo, en el diseño de PCB, es necesario ajustar la posición y los parámetros de capacitancia apropiados para reducir la influencia de la capacitancia parásita en el circuito general.

Implementación del sistema caótico de circuitos.

Los resultados de la simulación, que son retratos de fase en el plano x–y del sistema, se muestran en la Fig. 11 conectando los canales de \({v}_{c1}\) y \({v}_{c2} \) en el circuito al osciloscopio. Cuando la resistencia se ajusta a \({R}_{8}=\) 40 \(\mathrm{k\Omega }\), los retratos de fase del ciclo límite se ilustran en la Fig. 11a,d con el parámetro correspondiente v = 0,1. La Figura 11b,e representa los atractores del período 2 estableciendo la resistencia \({R}_{8}=\) 26,67 \(\mathrm{k\Omega }\) con el parámetro correspondiente v = 0,15. De manera similar, mientras que el valor de \({R}_{8}\) se establece como \({R}_{8}=\) 13.33 \(\mathrm{k\Omega }\) para el parámetro correspondiente \( \nu\) =0.3, los retratos de fase de los atractores caóticos se muestran en la Fig. 11c,f. Obviamente, los resultados de la simulación del estado del circuito Eq. (16) ilustradas en la Fig. 11 son similares a las trayectorias de fase numéricas teóricas representadas en la Fig. 7.

Los atractores coexistentes simétricos obtenidos del circuito diseñado con los canales de \({v}_{c1}\) y \({v}_{c2}\).

El esquema de sincronización de diferencia consta de dos sistemas maestros y un sistema esclavo, donde los sistemas maestros se definen como

y el sistema esclavista es considerado como

donde \(x={[{x}_{1}\left(t\right),{x}_{2}\left(t\right),{\dots,x}_{n}(t) ]}^{T}\), \(y={[{y}_{1}\left(t\right),{y}_{2}\left(t\right),{\dots ,y }_{n}(t)]}^{T}\), \(z={[{z}_{1}\left(t\right),{z}_{2}\left(t\ derecha),{\dots,z}_{n}(t)]}^{T}\) son vectores de estado de los sistemas maestro y esclavo, \(F(x),G(y),H(z) :\) R \(\to R\) son las funciones vectoriales continuas y \(U\left(x,y,z\right):R\times R\times R\to R\) es un controlador que va para ser diseñado utilizando la técnica de control de retroalimentación.

Se dice que los sistemas maestro y el sistema esclavo son sincronización de diferencia, si existen tres matrices constantes \({M}_{1},{M}_{2},{M}_{3}\in R\) satisfaciendo \(\underset{t\to \infty }{\mathrm{lim}}\Vert {M}_{3}z-({M}_{2}y-{M}_{1}x)\ Vert =0\) donde \({M}_{3}\ne 0\) y \(\Vert \cdot \Vert\) representan la norma de la matriz.

Caso 1 Si las matrices constantes \({M}_{3}\ne 0\), \({M}_{2}\ne 0\), y \({M}_{1}=0\), la sincronización de diferencia degenera en modo completamente sincronizado.

Caso 2 Si las matrices constantes \({M}_{3}\ne 0\), \({M}_{2}=0\), y \({M}_{1}\ne 0\), la sincronización de diferencia degenera en modo antisincronizado.

De acuerdo con el principio de estabilidad de Lyapunov, el método de linealización se utiliza para determinar la estabilidad del sistema (3). Convertimos la Ec. (3) a

donde \(X={(x,y,z)}^{\tau }\). De acuerdo con el teorema de expansión de Taylor para obtener

La ecuación característica de la matriz de coeficientes A se puede derivar como:

donde \(\lambda\) son los valores propios de la ecuación. (dieciséis).

Los valores propios de la matriz de coeficientes A son \({\lambda }_{1}=0\), \({\lambda }_{\mathrm{2,3}}=(1\pm \sqrt{15}i) /4\). El sistema es inestable debido a la parte real positiva de los valores propios \({\lambda }_{\mathrm{2,3}}\).

Para formular el método de sincronización de diferencia, los sistemas (1) y (2) se consideran como dos sistemas maestros, y el sistema esclavo con funciones de control se especifica mediante

donde \({u}_{1}(t)\), \({u}_{2}(t)\) y \({u}_{3}(t)\) son los controladores que necesitan ser diseñado Dejando las matrices \({M}_{3}=diag({m}_{31},{m}_{32},{m}_{33})\), \({M}_{2 }=diag\left({m}_{21},{m}_{22},{m}_{23}\right)\) y \({M}_{1}=diag({m} _{11},{m}_{12},{m}_{13})\), entonces las funciones de error se pueden definir de la siguiente manera:

Al derivar las funciones de error (18), podemos derivar los sistemas de error

Las funciones de control se adquieren simplificando el término lineal del sistema de error y añadiendo controladores de realimentación lineal:

Poniendo las funciones de control en el sistema de error, el sistema de error se reduce a

La matriz jacobiana del sistema de error lineal (18) es

Siguiendo el criterio de Routh-Hurwitz, el sistema de error se estabiliza si los valores propios de la matriz jacobiana son negativos, por lo que tres sistemas acoplados caóticos considerados lograrían sincronización diferencial. Por cálculo, los valores propios de la matriz jacobiana (22) son \({\lambda }_{1}={k}_{3}\), \({\lambda }_{2}=({k}_{ 1}+{k}_{2}+\sqrt{{\izquierda({k}_{1}-{k}_{2}\derecha)}^{2}-4})/2\), \({\lambda }_{3}=({k}_{1}+{k}_{2}-\sqrt{{\left({k}_{1}-{k}_{2} \right)}^{2}-4})/2\), donde \({k}_{1}\), \({k}_{2}\),\({k}_{3 }\) son factores de retroalimentación.

Si los factores de retroalimentación satisfacen

se realizará la diferencia de sincronización entre los sistemas caóticos (1), (2) y (17).

Para verificar la efectividad de la sincronización de diferencias, se utiliza el método de Runge-Kutta de cuarto orden para resolver las ecuaciones en simulación numérica. Considerando que los parámetros del sistema maestro Sprott A y del sistema esclavo NE8 se toman como a = 1 y b = 1.47, las condiciones iniciales se establecen como (0, 0.1, 0) y (− 0.1, − 1, 0.3), respectivamente . Para la condición inicial (0.1, 2, 0.1), el parámetro del sistema propuesto se considera como \(\nu =0.3\). Así, tanto el sistema maestro como el sistema esclavo son caóticos en esta situación según el análisis anterior. En ausencia del controlador definido por la Ec. (20), la trayectoria estatal del sistema amo-esclavo presenta un estado dramáticamente caótico. Aplicando el controlador en t = 20, seleccionando el coeficiente de retroalimentación como \({k}_{1}={k}_{2}=- \, 4, {k}_{3}=- \, 1\) , los sistemas maestros y el sistema de salva se sincronizan por diferencia en poco tiempo utilizando la tecnología de control de retroalimentación. Las Figuras 12a-c muestran la trayectoria de estado del sistema maestro-esclavo antes y después del control.

Indique trayectorias de diferencia de sincronización entre (a) \({m}_{21}{x}_{2}-{m}_{11}{x}_{1}\) y \({m}_{ 31}{x}_{3}\), (b) \({m}_{22}{y}_{2}-{m}_{12}{y}_{1}\) y \ ({m}_{32}{y}_{3}\), (c) \({m}_{23}{z}_{2}-{m}_{13}{z}_{ 1}\) y \({m}_{33}{z}_{3}\).

La curva de error de la Fig. 13a converge a cero en poco tiempo, prediciendo que el sistema acoplado está sincronizado diferencialmente. Como se muestra en la Fig. 13b, al encender el control en t = 0, el tiempo de sincronización de los sistemas se acortará significativamente, lo que indica que el tiempo de sincronización se ve afectado por las condiciones iniciales. El coeficiente de control de retroalimentación de las funciones de error que se muestran en la Fig. 13c se ajusta a \({k}_{1}={k}_{2}={k}_{3}=-1\). Es obvio que el tiempo de sincronización de los sistemas se incrementa significativamente para que pueda adaptarse a escenarios de ingeniería más prácticos.

Las trayectorias de las funciones de error con el controlador activado en (a) t = 20 y \({k}_{1}={k}_{2}=-4, {k}_{3}=-1\) . (b) t = 0 y \({k}_{1}={k}_{2}=-4, {k}_{3}=-1\). (c) t = 0 y \({k}_{1}={k}_{2}={k}_{3}=-1\).

En este artículo se ha desarrollado un novedoso sistema caótico simétrico tridimensional con múltiples puntos de equilibrio. El sistema desarrollado es una especie de sistema caótico con atractores coexistentes. Se han discutido los comportamientos dinámicos que incluyen atractores extraños, características simétricas, diagrama de bifurcación, exponentes máximos de Lyapunov y cuencas locales de atracción y comportamientos de biestabilidad. Y hemos dado una ruta clara para investigar los comportamientos del caos mediante análisis numérico y obtener detalles de los comportamientos del sistema caótico. Para confirmar aún más la viabilidad del sistema teórico, se implementó un circuito electrónico que emula este sistema caótico utilizando la plataforma de simulación electrónica Multisim. Todos los resultados mostrados por el circuito electrónico son muy consistentes con los de la simulación numérica. Además, el método de control de retroalimentación se utiliza para lograr la sincronización de diferencia entre dos sistemas mater Sprott A y el sistema NE8 con diferentes estructuras. Indica que el sistema propuesto en este trabajo puede ser práctico para aplicaciones de ingeniería basadas en el caos, como el diseño de osciladores autoexcitados y comunicación segura en futuras investigaciones.

Los datos que respaldan los hallazgos de este estudio están disponibles del autor correspondiente a pedido razonable.

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El trabajo está financiado por la Fundación Nacional de Ciencias Naturales de China (Grant No. 61927803, 61071025, 61502538 y 61501525) y la Fundación de Ciencias Naturales de la provincia de Hunan de China (Grant No. 2015JJ3157).

Escuela de Física y Electrónica, Universidad Central del Sur, Changsha, 410083, China

Haitao Qiu, Xuemei Xu, Kehui Sun y Can Cao

Escuela de Automatización, Universidad Central del Sur, Changsha, 410083, China

zhaohui jiang

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HQ y XX concibieron los métodos, HQ contribuyó al diseño, simulación, análisis de resultados y borrador del manuscrito, XX, ZJ, KS y CC contribuyeron a revisar críticamente y aprobar la versión final del manuscrito.

Correspondencia a Xuemei Xu.

Los autores declaran no tener conflictos de intereses.

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Reimpresiones y permisos

Qiu, H., Xu, X., Jiang, Z. et al. Comportamientos dinámicos, diseño de circuitos y sincronización de un nuevo sistema caótico simétrico con atractores coexistentes. Informe científico 13, 1893 (2023). https://doi.org/10.1038/s41598-023-28509-z

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Recibido: 15 Septiembre 2022

Aceptado: 19 de enero de 2023

Publicado: 02 febrero 2023

DOI: https://doi.org/10.1038/s41598-023-28509-z

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